[En bref] Logique de base

Lisez l’article complet ici : Introduction à la pensée critique

Implication, contraposée, réciproque, équivalence

En logique ces quatre termes sont centraux.

L’implication exprime une relation de causalité selon laquelle une proposition en entraine une autre si elle est vraie. Elle se note \(A \Rightarrow B\) et se lit A implique B.

La contraposée d’une implication est sa réécriture sous une forme négative. Elle a exactement la même valeur logique. La contraposée de \(A \Rightarrow B\) (A implique B) est \(\neg B \Rightarrow \neg A\) (non B implique non A).

La réciproque d’une implication est son inverse. Elle n’a pas la même valeur logique. La réciproque de \(A \Rightarrow B\) (A implique B) est \(B \Rightarrow A\) (B implique A).

On parle d’équivalence quand une implication et sa réciproque sont toutes les deux vraies. Elle se note \(A \Leftrightarrow B\) et se lit A équivaut à B. On dit aussi que A est nécessaire et suffisant à B.

Modus Ponens et Modus Tollens

Derrière ces termes latins se cachent deux principes très simples et fondamentaux de la logique.

Le modus ponens est la déduction du conséquent. C’est à dire que si A implique B et que A est vrai, alors B est vrai. On écrit formellement cette relation :

\[A, A \Rightarrow B \vdash B\]

Cela se lit de A et A implique B on déduit B.

Par exemple :

  1. On sait que tous les poissons respirent sous l’eau. (\(A \Rightarrow B\))
  2. Or le saumon est un poisson. (\(A\))
  3. Donc le saumon respire sous l’eau. (\(B\))

Le modus tollens est la validité de la contraposée. La contraposée de A implique B est non A implique non B. On écrit formellement cette relation :

\[A \Rightarrow B \vdash \neg B \Rightarrow \neg A\]

Cela se lit de A implique B on déduit non B implique non A.

Par exemple :

  1. On sait que tous les poissons respirent sous l’eau. (\(A \Rightarrow B\))
  2. Or l’ours ne respire pas sous l’eau. (\(\neg B\))
  3. Donc l’ours n’est pas un poisson. (\(\neg A\))

Affirmation du conséquent et négation de l’antécédent

Les deux principes précédents sont logiquement valides, mais il existe deux raisonnements fallacieux très similaires dans leur forme qui sont logiquement invalides : l’affirmation du conséquent et la négation de l’antécédent.

L’affirmation du conséquent c’est considérer une condition suffisante comme nécessaire. Elle dit que si A implique B et que B est vrai, alors A est vrai. On écrit formellement cette affirmation fausse :

\[B, A \Rightarrow B \vdash A\]

Cela se lit de B et A implique B on déduit A.

Par exemple :

  1. On sait que tous les poissons respirent sous l’eau. (\(A \Rightarrow B\))
  2. Or le crabe respire sous l’eau. (\(B\))
  3. Donc le crabe est un poisson. (\(A\))

La négation de l’antécédent c’est considérer que la réciproque d’une implication est toujours vraie. Elle dit que si A implique B alors non A implique non B. On écrit formellement cette affirmation fausse :

\[A \Rightarrow B \vdash \neg A \Rightarrow \neg B\]

Cela se lit de A implique B on déduit non A implique non B.

Par exemple :

  1. On sait que tous les poissons respirent sous l’eau. (\(A \Rightarrow B\))
  2. Or le crabe n’est pas un poisson. (\(\neg A\))
  3. Donc le crabe ne respire pas sous l’eau. (\(\neg B\))